奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。

其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。

莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。

莫比乌斯研究如下函数：

F（1）=f（1）

F（2）=f（1）+f（2）

F（3）=f（1）+f（3）

F（4）=f（1）+f（2）+f（4）

F（5）=f（1）+f（5）

F（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（6）

F（7）=f（1）+f（7）

F（8）=f（1）+f（2）+f（4）+f（8）

反演变化过来时以下情况：

f（1）=F（1）

f（2）=F（2）-F（1）

f（3）=F（3）-F（1）

f（4）=F（4）-F（2）

f（5）=F（5）-F（1）

f（6）=F（6）-F（3）-F（2）+F（1）

f（7）=F（7）-F（1）

f（8）=F（8）-F（4）

后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想J（x）公式里。

μ（1）=1

μ（n）=0（如果n可以被任一素数的平方整除）

μ（n）=-1（如果n是奇数个不同素数的乘积）

μ（n）=1（如果n是偶数个不同素数的乘积）。

因此知道了J（x）就可以计算出π（x），即素数的分布函数。

把这些步骤连接在一起，我们看到，从ζ（x）到J（x），再从J（x）到π（x），素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了Riemannζ函数之中。

这就是Riemann研究素数分布的基本思路。

莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。

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